巧用数学知识  妙解高考试题

安徽省马鞍山第二中学  卢大亮（243000）

一、不等式知识

图 1

例1（2005年全国高考文综卷Ⅰ第8~9题）假定工厂选址时只考虑运费，且运费仅与所运货物的重量和运距成正比。某原料的原料指数等于该原料重量与产品重量之比，图1中Ｏ点到原料M₁、M₂产地和市场N的距离相等。据此回答1—2题。

1.如果工厂选址在Ｏ点最合理，那么

A．M₁的原料指数大于M₂的原料指数

B．M₁、M₂的原料指数都大于1

C．生产1个单位重量的产品分别需要0.5个单位重量的M₁、M₂

D．生产1个单位重量的产品分别需要1个单位重量的M₁、M₂

2.若生产2个单位重量的产品需3个单位重量的原料M₁，2个单位重量的原料M₂，那么工厂区位最好接近以下四点中的

A．N     B．P     C．Q     D．R

解析：本题考查的知识点是工业区位选择，如果采用数学中不等式知识解答就比较简单。假设运费=重量×运距，假设任意一点到M₁、M₂、N的距离分别为d₁、d₂、d_n，原料M₁、M₂及产品N的重量分别为G₁、G₂、G_n，则总运费=G₁×d₁+ G₂×d₂+ G_n×d_n 。根据不等式： （当且仅当a=b=c时取等号）。所以当G₁×d₁=G₂×d₂=G_n×d_n时总运费最小，布局位置也最合理。

第1题，由题意工厂选址在Ｏ点最合理，可知三点到O点的总运费一定最小，又因为d₁=d₂=d_n，所以G₁=G₂=G_n 。故选D。

第2题，根据G₁×d₁= G₂×d₂=G_n×d_n时总运费最小，可知重量越大距离应该越小。由于原料M₁的需要量最大，距离d₁应该最小，所以选择距离M₁最近的P点。故选B。

答案：1.D   2.B

二、函数知识

图2

例2（2005年全国高考文综Ⅱ第9~11题）假定城镇是唯一市场，城镇周围是条件均一的平原，种植农作物的收益只与市场价格、生产成本和运费有关，其关系表达式为：收益=市场价格—生产成本—运费。单位面积甲、乙、丙农作物，其市场价格分别为600元、1000元、1400元，生产成本分别为200元、400元、600元，运费与距离成正比。图2是这三种农作物收益随距城镇（市场）的距离变化示意图。据此回答1—3题。

1.X、Y、Z线代表的农作物依次是

A．甲、乙、丙   B．乙、丙、甲   C．丙、甲、乙   D．丙、乙、甲

2.在距城镇OJ范围内，为取得最佳综合效益，种植这三种农作物的界线应该是

A．E、F   B．F、G   C．E、H   D．F、H

3.与其他两作物相比较，单位面积作物Z

A．单位距离运费最低              B．单位距离运费最高

C．随距城镇距离增大收益递减最快  D．总是收益最低

解析：本题考查学生获取信息，分析问题的能力和技能，倘若采用数学中函数知识解答本题就很简单。

第1题，根据单位面积甲、乙、丙农作物的市场价格和生产成本，可求出甲、乙、丙的收益分别是：y_甲=400-运费；y_乙=600-运费；y_丙=800-运费。因运费与距离成正比，故农作物甲、乙、丙的收益分别是一个一次函数：y_甲=400-k₁x（x≥0）；y_乙=600- k₂x（x≥0）；y_丙=800- k₃x（x≥0）,k₁ k₂ k₃ 分别表示三种农作物单位距离的运费，x为距城镇的距离，即可得出农作物甲、乙、丙的函数在纵轴的截距分别为400、600、800。故选D。

第2题，解答该题可将城市功能分区中“各类土地利用付租能力随距离的递减”知识点进行知识迁移。在OE范围内X的收益最高；在EH范围内Y的收益最高；在HJ范围内Z的收益最高。则这三种农作物的界线应是三条函数图象的交点在横轴上的投影E、H。

第3题，解答该题也可用函数关系求解，即当收益为0时，X的运费为800，Y的运费为600，Z的运费为400。由于Z的收益距离最远，运费又最小，故单位距离运费最低。

答案：1.D   2.C   3.A

             详见2005年第5期<中学生导报--高考地理>杂志